$int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx$ converges absolutely












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This is part of problem from baby Rudin Ch 6, exer 9:




How to show that $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx$$ exists (i.e., $limlimits_{atoinfty}(int_0^{a}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx)$ exists)? (I know that $int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx$ exists.)




I used integration calculator, and it suggested me to take note of $|x|=frac{x^2}{|x|}$, ie, they $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx=int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ but then they took $frac{sin x}{|sin x|}$ out, i.e., $$int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx=frac{sin x}{|sin x|}int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ which seems to me illegal.






real-analysis integration limits







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    This is part of problem from baby Rudin Ch 6, exer 9:




    How to show that $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx$$ exists (i.e., $limlimits_{atoinfty}(int_0^{a}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx)$ exists)? (I know that $int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx$ exists.)




    I used integration calculator, and it suggested me to take note of $|x|=frac{x^2}{|x|}$, ie, they $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx=int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ but then they took $frac{sin x}{|sin x|}$ out, i.e., $$int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx=frac{sin x}{|sin x|}int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ which seems to me illegal.






    real-analysis integration limits







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      This is part of problem from baby Rudin Ch 6, exer 9:




      How to show that $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx$$ exists (i.e., $limlimits_{atoinfty}(int_0^{a}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx)$ exists)? (I know that $int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx$ exists.)




      I used integration calculator, and it suggested me to take note of $|x|=frac{x^2}{|x|}$, ie, they $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx=int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ but then they took $frac{sin x}{|sin x|}$ out, i.e., $$int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx=frac{sin x}{|sin x|}int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ which seems to me illegal.






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      This is part of problem from baby Rudin Ch 6, exer 9:




      How to show that $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx$$ exists (i.e., $limlimits_{atoinfty}(int_0^{a}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx)$ exists)? (I know that $int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx$ exists.)




      I used integration calculator, and it suggested me to take note of $|x|=frac{x^2}{|x|}$, ie, they $$int_0^{infty}frac{|sin x|}{(1+x)^2},dx=int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ but then they took $frac{sin x}{|sin x|}$ out, i.e., $$int_0^{infty}frac{sin x}{|sin x|}frac{sin x}{(1+x)^2},dx=frac{sin x}{|sin x|}int_0^{infty}frac{sin x}{(1+x)^2},dx,$$ which seems to me illegal.






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      asked Dec 12 '18 at 6:33









      SilentSilent

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          Does
          $$
          int_0^{+infty} frac {vert sin x vert } {(1+x)^2} ,mathrm dx leqslant int_0^{+infty} frac {mathrm dx}{(1+x )^2}
          $$
          show the existence?






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            StackExchange.ifUsing("editor", function () {
            return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
            StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
            StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
            });
            });
            }, "mathjax-editing");

            StackExchange.ready(function() {
            var channelOptions = {
            tags: "".split(" "),
            id: "69"
            };
            initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

            StackExchange.using("externalEditor", function() {
            // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
            if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
            StackExchange.using("snippets", function() {
            createEditor();
            });
            }
            else {
            createEditor();
            }
            });

            function createEditor() {
            StackExchange.prepareEditor({
            heartbeatType: 'answer',
            autoActivateHeartbeat: false,
            convertImagesToLinks: true,
            noModals: true,
            showLowRepImageUploadWarning: true,
            reputationToPostImages: 10,
            bindNavPrevention: true,
            postfix: "",
            imageUploader: {
            brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
            contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
            allowUrls: true
            },
            noCode: true, onDemand: true,
            discardSelector: ".discard-answer"
            ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
            });


            }
            });














            draft saved

            draft discarded


















            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3036317%2fint-0-infty-frac-sin-x1x2-dx-converges-absolutely%23new-answer', 'question_page');
            }
            );

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            Does
            $$
            int_0^{+infty} frac {vert sin x vert } {(1+x)^2} ,mathrm dx leqslant int_0^{+infty} frac {mathrm dx}{(1+x )^2}
            $$
            show the existence?






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              Does
              $$
              int_0^{+infty} frac {vert sin x vert } {(1+x)^2} ,mathrm dx leqslant int_0^{+infty} frac {mathrm dx}{(1+x )^2}
              $$
              show the existence?






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                Does
                $$
                int_0^{+infty} frac {vert sin x vert } {(1+x)^2} ,mathrm dx leqslant int_0^{+infty} frac {mathrm dx}{(1+x )^2}
                $$
                show the existence?






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                Does
                $$
                int_0^{+infty} frac {vert sin x vert } {(1+x)^2} ,mathrm dx leqslant int_0^{+infty} frac {mathrm dx}{(1+x )^2}
                $$
                show the existence?







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                answered Dec 12 '18 at 6:37









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                6,2151522






























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                    draft discarded




















































                    Thanks for contributing an answer to Mathematics Stack Exchange!


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                    To learn more, see our tips on writing great answers.




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                    draft discarded














                    StackExchange.ready(
                    function () {
                    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3036317%2fint-0-infty-frac-sin-x1x2-dx-converges-absolutely%23new-answer', 'question_page');
                    }
                    );

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