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d=|UO|=R(R−2r){displaystyle d=|UO|={sqrt {R(R-2r)}}}

En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:^[1]​^[2]​^[3]​^[4]​

d2=R(R−2r){displaystyle d^{2}=R(R-2r),}

o de forma equivalente

1R−d+1R+d=1r{displaystyle {frac {1}{R-d}}+{frac {1}{R+d}}={frac {1}{r}}}

donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).

El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767,^[5]​ aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.^[6]​

Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:^[2]​^[3]​

R≥2r,{displaystyle Rgeq 2r,}

que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero.^[7]​^{:p. 198}

Demostración

File:GeometryEulerTheorem.png

Demostración del Teorema Geométrico de Euler

Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces d² = R(R - 2r).

Versión fuerte de la desigualdad

Una versión más fuerte es^[7]​^{:p. 198}

Rr≥abc+a3+b3+c32abc≥ab+bc+ca−1≥23(ab+bc+ca)≥2.{displaystyle {frac {R}{r}}geq {frac {abc+a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}}geq {frac {a}{b}}+{frac {b}{c}}+{frac {c}{a}}-1geq {frac {2}{3}}left({frac {a}{b}}+{frac {b}{c}}+{frac {c}{a}}right)geq 2.}

Véase también

• 
  Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos.


• 
  Teorema de clausura de Poncelet, mostrando que hay una infinidad de triángulos con el mismo R, r, y d.


• Anexo:Desigualdades del triángulo

Referencias