Cuadrado perfecto
Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número natural.
Un número es un cuadrado perfecto si se puede ordenar en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo:
| 32 = 9 |  |
Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina [número libre de cuadrados].
Índice
1 Propiedades
2 Ejemplos
3 Cuadrados siguientes y anteriores a otro
4 Cuadrados como sumas
5 Números cuadrados pares e impares
6 Suma de los primeros n cuadrados
7 Construcción de cuadrados perfectos
8 Véase también
9 Referencias
10 Bibliografía
11 Enlaces externos
Propiedades
La fórmula general para el n-ésimo número cuadrado es n2. Esta expresión es igual a la suma de los primeros n números impares, demostrable por inducción matemática, registrada en la siguiente fórmula:
- n2=∑k=1n(2k−1){displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n};(2k-1)}
- Ejemplo:
- 52=∑k=15(2k−1)=1+3+5+7+9=25{displaystyle 5^{2}=sum _{k=1}^{5};(2k-1)=1+3+5+7+9=25}
- 52=∑k=15(2k−1)=1+3+5+7+9=25{displaystyle 5^{2}=sum _{k=1}^{5};(2k-1)=1+3+5+7+9=25}
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la
factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.
- Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedentes dígitos deben ser también un cuadrado.
- Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en 1 y el número formado por su precedentes debe ser divisible por cuatro.
- Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado concluye en 4 y el dígito anterior debe ser un número par.
- Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado tiene como cifra final el 9 y el número formado por los dígitos a su izquierda debe ser divisible entre cuatro.
- Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado remata en 6 y el dígito antecesor debe ser impar.
- Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado tiene 25 por cifras finales y los dígitos predecesores deben ser 0, 2, 06, o 56.
- Los cuadrados perfectos, escritos en notación decimal, no terminan en 2, ni 3, tampoco en 7, menos en 8.
Ejemplos
| 12 = 1 |  |
| 22 = 4 |  |
| 32 = 9 | |
| 42 = 16 |  |
| 52 = 25 |  |
La cantidad de factores (divisores) de un número cuadrado perfecto es siempre impar. O dicho de otro modo, se cumple que para todo número natural que no es cuadrado perfecto, la cantidad de sus factores en un número par.
Todo número natural se puede descomponer en factores primos y sus correspondientes exponentes: N=p1a.p2b.p3c...{displaystyle N=p_{1}^{a}.p_{2}^{b}.p_{3}^{c}...}
,
donde N es un número natural, p1,p2,...{displaystyle p_{1},p_{2},...}
son números primos y a,b,c... sus correspondientes exponentes. Dado que todos los posibles divisores de N son una combinación de este producto desde a=0,1,2,..a, b=0,1,2,...b y c=0,1,2,...c, la cantidad de divisores de N es:
n = (a+1).(b+1).(c+1)... donde n es la cantidad de factores o divisores de cualquier número natural.
Puesto que en un número cuadrado perfecto los exponentes a, b, c, ... son números pares, todos los factores de n serán impares y por tanto el producto también es un número impar. Esto puede comprobarse revisando el Anexo:Tabla de divisores
Los primeros 50 cuadrados perfectos son:
- 02 = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
- 102 = 100
- 112 = 121
- 122 = 144
- 132 = 169
- 142 = 196
- 152 = 225
- 162 = 256
- 172 = 289
- 182 = 324
- 192 = 361
- 202 = 400
- 212 = 441
- 222 = 484
- 232 = 529
- 242 = 576
- 252 = 625
- 262 = 676
- 272 = 729
- 282 = 784
- 292 = 841
- 302 = 900
- 312 = 961
- 322 = 1024
- 332 = 1089
- 342 = 1156
- 352 = 1225
- 362 = 1296
- 372 = 1369
- 382 = 1444
- 392 = 1521
- 402 = 1600
- 412 = 1681
- 422 = 1764
- 432 = 1849
- 442 = 1936
- 452 = 2025
- 462 = 2116
- 472 = 2209
- 482 = 2304
- 492 = 2401
- 502 = 2500
Cuadrados siguientes y anteriores a otro
Puede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.
- La distancia entre un cuadrado y el siguiente, resulta de sumar al cuadrado primero, 2 veces el lado del siguiente y restarle 1: Si para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.
Ejemplos:
- cuadrado 0, calcular cuadrado 1: 00 + (2 * 1) - 1) = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01
- cuadrado 1, calcular cuadrado 2: 01 + (2 * 2) - 1) = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04
- cuadrado 2, calcular cuadrado 3: 04 + (2 * 3) - 1) = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09
- cuadrado 3, calcular cuadrado 4: 09 + (2 * 4) - 1) = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16
- cuadrado 4, calcular cuadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1) = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25
- cuadrado 5, calcular cuadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1) = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36
- cuadrado 6, calcular cuadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1) = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49
Otra manera de calcular la distancia es teniendo en cuenta la siguiente propiedad:
La diferencia entre cada número cuadrado y el consecutivo(si se comienza con el 0) son todos los números impares, en orden ascendente:
0 + 1 = 1
1 + 3 = 4
4 + 5 = 9
9 + 7 = 16
- La distancia entre un cuadrado y 2 más adelante, resulta de sumar al cuadrado primero, 4 veces el (lado deseado -1): Si para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36
Ejemplos:
- cuadrado 0, calcular cuadrado 2: 00 + (4 * (2 - 1) = 00 + 04 = 04
- cuadrado 2, calcular cuadrado 4: 04 + (4 * (4 - 1) = 04 + 12 = 16
- cuadrado 4, calcular cuadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1) = 16 + 20 = 36
- cuadrado 6, calcular cuadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1) = 36 + 28 = 64
- cuadrado 1, calcular cuadrado 3: 01 + (4 * (3 - 1) = 01 + 08 = 09
- cuadrado 3, calcular cuadrado 5: 09 + (4 * (5 - 1) = 09 + 16 = 25
- cuadrado 5, calcular cuadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49
Ambos casos resultan de interés con números muy grandes, para hallar en bucles el siguiente cuadrado o el siguiente cuadrado de lado par/impar, especialmente en computación donde las sumas son mucho menos costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de desplazamiento de bits. A su vez las multiplicaciones ('2 * x' ó por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma. Fíjese como en ambos casos a la derecha del todo, el siguiente cuadrado, para ambos casos se resuelven con sumas.
La operación a la inversa es fácilmente deducible, es decir hallar el cuadrado anterior a otro dado.
- La distancia entre un cuadrado y el anterior, resulta de restar al cuadrado primero, 2 veces el lado actual y sumarle 1: Si para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25
- La distancia entre un cuadrado y 2 más atrás, resulta de restar al cuadrado, 4 veces el (lado actual -1): Si para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16
Cuadrados como sumas
El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (n2=2(n−1)2−(n−2)2+2{displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}
2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 =
50 − 16 + 2 = 36 = 62.
Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 42 es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son más fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649
Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos. La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.
Números cuadrados pares e impares
El cuadrado de un número par siempre es par (de hecho es divisible por 4), ya que (2n)2 = 4n2.
El cuadrado de un número impar siempre es impar, ya que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
De esto se sigue que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto par siempre es par, y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto impar siempre es impar. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).
Suma de los primeros n cuadrados
Para los primeros cinco cuadrados perfectos
- ∑k=15k2=1+4+9+16+25=5(5+1)(2×5+1)6{displaystyle sum _{k=1}^{5};k^{2}=1+4+9+16+25={frac {5(5+1)(2times 5+1)}{6}}}
- ∑k=15k2=1+4+9+16+25=5(5+1)(2×5+1)6{displaystyle sum _{k=1}^{5};k^{2}=1+4+9+16+25={frac {5(5+1)(2times 5+1)}{6}}}
Generalizando para los primeros n cuadrados perfectos resulta la suma
S2=n(n+1)(2n+1)6{displaystyle S_{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
[1]
Construcción de cuadrados perfectos
- El producto de dos pares consecutivos aumentado en 1 es cuadrado perfecto
(2n)(2n+2)+1=4n2+4n+1=(2n+1)2{displaystyle (2n)(2n+2)+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}}
.
Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53.[2]
- El producto de dos impares consecutivos más 1 es un cuadrado perfecto.
(2n−1)(2n+1)+1=4n2−1+1=4n2{displaystyle (2n-1)(2n+1)+1=4n^{2}-1+1=4n^{2}}
Por ejemplo, 95·97 + 1 = 9216. En los dos casos hallamos el cuadrado de la media aritmética de los factores.
- El producto de cuatro enteros consecutivos aumentado en 1 es un cuadrado perfecto.(n−1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n2+n−1)2{displaystyle (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^{2}+n-1)^{2}}
[3] Por ejemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.
- El producto de un múltiplo de un número por el múltiplo transconsecutivo del mismo más el cuadrado del generador es cuadrado perfecto.
kn[(k+2)n]+n2=n2(k+1)2{displaystyle kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}}
![{displaystyle kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afaeae6e72434754194e1e9231ce8584b68a0035)
Por ejemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.[4]
Véase también
- Conjetura de Legendre
- Paradoja de Galileo
- Trinomio cuadrado perfecto
Referencias
↑ Jimmy García et al. Resumen teórico Matemáticas Ciencias ( 1914) Lima Fondo Editorial Rodó
↑ Se comprueba multiplicando sus formas típicas y al producto se suma 1
↑ Róbinson Castro: Álgebra moderna e introducción a geometría algebraica (2013)
↑ Castro: Ibídem
Bibliografía
- Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
Weisstein, Eric W. «Square Number». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Enlaces externos
- Alpertron.com.ar Un applet JAVA que descompone un número natural en la suma de cuatro cuadrados.
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