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Una función de base radial (o radial basis functions, RBF en inglés) es una función real cuyo valor depende sólo de la distancia del origen, de forma tal que ϕ(r)=Φ(‖x‖){displaystyle phi (r)=Phi (|mathbf {x} |)}, o de forma alternativa de la distancia a algún centro xk{displaystyle mathbf {x} _{k}}, tal que ϕ(r)=Φk(x)=Φ(‖x−xk‖){displaystyle phi (r)=Phi _{k}(mathbf {x} )=Phi (|mathbf {x} -mathbf {x} _{k}|)}. Cualquier función que satisfaga ϕ(r)=Φ(‖x‖){displaystyle phi (r)=Phi (|mathbf {x} |)} se le conoce como función radial. La Norma vectorial usada es frecuentemente la norma euclidiana

Definición

Una función Φ:Rs→R{displaystyle Phi :mathbb {R} ^{s}rightarrow mathbb {R} } es llamada radial ya que existe una función univariada ϕ:[0,∞)→R{displaystyle phi :[0,infty )rightarrow mathbb {R} } tal que

Φ(x)=ϕ(r){displaystyle Phi (mathbf {x} )=phi (r)}

donde r=‖x‖{displaystyle r=|mathbf {x} |}, y ‖⋅‖{displaystyle |cdot |} es alguna norma sobre Rs{displaystyle mathbb {R} ^{s}}, usualmente la norma euclidiana.

Esta definición nos dice que, para una función de base radial Φ{displaystyle Phi } y el par de puntos x1,x2∈Rs{displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2}in mathbb {R} ^{s}}, vale decir ‖x1‖=‖x2‖{displaystyle |mathbf {x} _{1}|=|mathbf {x} _{2}|}, implica que Φ(x1)=Φ(x2){displaystyle Phi (mathbf {x} _{1})=Phi (mathbf {x} _{2})}, es decir, el valor de la función de base radial es constante para puntos a la misma distancia del origen o del centro fijo elegido, por lo que Φ{displaystyle Phi } es radialmente simétrica respecto de su centro.

Tipos

Los tipos más frecuentes de funciones de base radial se listan a continuación, considerando r=‖x−xk‖{displaystyle r=|mathbf {x} -mathbf {x} _{k}|}

• Función de distancia:

ϕ(r)=r{displaystyle phi (r)=r}. Es una función que ejemplifica lo más simple de las RBF, su matriz asociada es la matriz de distancia euclidiana, sus entradas son de la forma Aj,k=‖xj−xk‖{displaystyle A_{j,k}=|mathbf {x} _{j}-mathbf {x} _{k}|}.

• Función gaussiana:

ϕ(r)=e−(εr)2{displaystyle phi (r)=e^{-(varepsilon r)^{2}}}

• Función multicuadrática:

ϕ(r)=1+(εr)2{displaystyle phi (r)={sqrt {1+(varepsilon r)^{2}}}}

• Función multicuadrática inversa:

ϕ(r)=11+(εr)2{displaystyle phi (r)={frac {1}{sqrt {1+(varepsilon r)^{2}}}}}

• Función Spline poliarmónico:

ϕ(r)=rk,k=1,3,5,…{displaystyle phi (r)=r^{k},;k=1,3,5,dots }

ϕ(r)=rkln⁡(r),k=2,4,6,…{displaystyle phi (r)=r^{k}ln(r),;k=2,4,6,dots }

• Función Spline de placa delgada :

ϕ(r)=r2ln⁡(r){displaystyle phi (r)=r^{2}ln(r);}

En las funciones gaussiana, multcuadrática y multicuadrática inversa el parámetro ε{displaystyle varepsilon } se le dice de forma (shape parameter en inglés), y determina el decaimiento de estas funciones a medida que uno se acerca o se aleja del centro de la RBF.

Aproximación

Las funciones de base radial son típicamente usadas para construir aproximaciones de funciones de la forma

Pf(x)=∑k=1NckΦ(‖x−xk‖),x∈Rs{displaystyle P_{f}(mathbf {x} )=sum _{k=1}^{N}c_{k}Phi (|mathbf {x} -mathbf {x} _{k}|),mathbf {x} in mathbb {R} ^{s}}

donde la función de aproximación es una combinación lineal de N RBFs. Existen diversos métodos para calcular o estimar los coeficientes ck{displaystyle c_{k}} asociados, ya que esta aproximación define el sistema de ecuaciones lineales A⋅c=y{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {c} =mathbf {y} }.

Referencias

Meshfree Approximation Methods with MATLAB, Gregory E. Fasshauser. Illinois Institute of Technology, USA