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La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 3, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo Rn+1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1} }, notada en general Sn {displaystyle mathbb {S} ^{n} }. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

x12+x22+⋯+xn+12=R2 {displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+dots +x_{n+1}^{2}=R^{2}~},

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0).^[1]​ Teniendo como datos un punto fijo P=(p1,p2,…,pn){displaystyle P=(p_{1},p_{2},dots ,p_{n}),} llamado centro y el radio R, real positivo, siendo X=(x1,x2,…,xn){displaystyle X=(x_{1},x_{2},dots ,x_{n}),} un punto cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,^[2]​^[3]​

(x1−p1)2+(x2−p2)2+⋯+(xn−pn)2=∑i=1n(xi−pi)2=R.{displaystyle {sqrt {(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}}}={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-p_{i})^{2}}}=R.}

o escrito en forma vectorial, como:

‖x−p‖=R{displaystyle |mathbf {x} -mathbf {p} |=R}

Ejemplos:

• Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.


• Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.


• Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Propiedades

Volumen

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n viene determinado por:

(1)Vn=πn/2RnΓ(n/2+1)  ,{displaystyle V_{n}={pi ^{n/2}R^{n} over Gamma (n/2+1)} ,}

donde Γ{displaystyle Gamma } es la función gamma.

Nótese la particularidad de que Vn{displaystyle V_{n}} se incrementa desde n=1 hasta un máximo y luego comienza a disminuir y tiende a cero cuando n tiende a infinito. En el caso que R=1 el volumen máximo se obtiene cuando n=5.

Por ejemplo, el volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional aplicando la fórmula (1) para n=4 resulta

V4=π2R42{displaystyle V_{4}={frac {pi ^{2}R^{4}}{2}}} .

N-bola

El espacio encerrado por una (n-1)-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la (n-1)-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

• La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.


• La 2-bola es un disco, el interior de una circunferencia (1-esfera).


• La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también

• 3-esfera


• Bola (matemática)


• Disco

Referencias

Enlaces externos

• 
  Hypersphere en Planetmath.


• 
  Weisstein, Eric W. «Hypersphere». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.